החידה :
מאה נוסעים נכנסים למטוס בזה אחר זה, כאשר לכל אחד יש כרטיס למושב שלו.
למרבה הצער, כשהנוסע הראשון נכנס למטוס, הוא מגלה שכרטיסו אבד.
הוא בוחר באקראי מושב ומתיישב.
יתר הנוסעים פועלים באופן הבא: כל אחד מהם מגיע למושב בו הוא אמור לשבת,
אם המושב פנויי - הנוסע מתיישב במושבו.
אם המושב תפוס – הדיילת מאיצה בנוסע להזדרז,
והוא בוחר באקראי מושב פנוי אחר ומתיישב בו.
מהו הסיכויי שהנוסע האחרון יישב במקום שבו הוא אמור לשבת?
* רמז ותשובה מתחת לפרסומת *
הרמז : רק אם לא יודעים
הראה רמז
סטטיסטיקה מסובכת , תשובה פשוטה
התשובה :
הראה תשובה
50% , הסבר מסובך : נתחיל בלבנות את ההסתברות (זה למעשה עץ הסתברות) שהנוסע האחרון ישב בכיסא שלו:
יש סיכוי של 1/100 שהאיש הראשון נופל בכיסא הנכון, ואז בוודאות כל השאר מסתדרים במקום הנכון (ובפרט הנוסע האחרון ישב במקומו).
אם זה לא קורה, אז יש סיכוי של 98/100 שהנוסע הראשון ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של הנוסע האחרון). את זה צריך להכפיל עכשיו בהסתברות של (תפתחו סוגריים) 1/99 שהאיש השני נפל בכיסא הנכון שלו (ואז בוודאות כל השאר מסתדרים במקום הנכון.) או בהסתברות של 97/99 שהוא ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של הנוסע האחרון). וכך ממשיכים הלאה רקורסיבית.
זה יוצר ביטוי מורכב, שלא ברור לי איך מחשבים אותו מתמטית (אם למישהו יש רעיון איך לחשב זאת באופן סגור – תספרו לי).
כעת נחשב את ההסתברות שהאיש שלנו לא ישב בכיסא הנכון:
יש סיכוי של 1/100 שהאיש הראשון נופל בכיסא של הנוסע האחרון, ואז בוודאות הנוסע האחרון לא ישב במקום שלו.
אם זה לא קורה, אז יש סיכוי של 98/100 שהוא ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של עצמו, כי אז כולם יושבים בוודאות בכיסאות שלהם). את זה צריך להכפיל עכשיו בהסתברות של 1/99 שהאיש השני נפל בכיסא של הנוסע האחרון או בהסתברות של 97/99 שהוא ישב בכיסא אחר (אבל לא בכיסא של עצמו). וכך ממשיכים הלאה רקורסיבית.
והנה אנו רואים שזה יוצר ביטוי מורכב, ששווה לחלוטין לביטוי המורכב שתיארתי קודם!
מכיוון ששני המאורעות משלימים ל- 1, זה אומר שכל אחד מהם חייב להיות שווה ל- 0.5
|
